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Pubblicazione N°7
 
 

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Pubblicazione N°7

 

STORIA E FILOSOFIA DEI MODELLI DI SIMULAZIONE NELLA DIFESA DELLE COLTURE AGRARIE HISTORY AND PHILOSOPHY OF THE SIMULATION MODELS FOR CROP PROTECTION

Atti delle II Giornate di Studio su 'Metodi Numerici, Statistici e Informatici nella Difesa delle Colture Agrarie e delle Foreste: Ricerca e Applicazioni' - Pisa, Scuola Superiore Sant'Anna, Maggio 2002.

MAURIZIO SEVERINI(1) e GIANNI GILIOLI(2)

1) Istituto di Scienze dell'Atmosfera e del Clima (ISAC-CNR). 
Sezione di Roma. Area di Ricerca 'Tor Vergata', 
Via del Fosso del Cavaliere, 100. I-00133 Roma.

E-mail: Maurizio.Severini@uniroma1.it

2) Dipartimento di Agrochimica e Agrobiologia,
 Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria,
Gallina di Reggio di Calabria, Italy

ABSTRACT

Simulation Models for agricultural crops protection can be divided in three classes: Phenological, Demographic and Distributed Delay Models. The Phenological Models simulate a date, for example the date of the onset of the peach trees flowering. The Demographic Models simulate a number, for example the number of individuals in a population in a given day. The Distributed Delay Models simulate a distribution, for example the number of individuals in a population that are in different stages (or phenophases) in a given day. The historical evolution of the three classes is separately and briefly told. Here, it is suggested that the Distributed Delay Models were born from the cross of the Phenological and Demographic ones.
Discussion on simulation models philosophy starts from the difference between a system and a model, then the concepts of flux, state and forcing functions (or variables) are introduced. Finally, how to do for estimating the parameters and the validity interval of a simulation model is dealth with. 



INTRODUZIONE

I modelli di simulazione, come dice il loro nome, servono a riprodurre per analogia l'andamento temporale delle caratteristiche osservabili di un processo complesso. Inizialmente questi modelli sono stati sviluppati in ingegneria impiegando diversi dispositivi analogici: idraulici, termici, meccanici, elettrici, ecc., tuttavia, essi hanno subito un impulso decisivo con l'impiego di dispositivi informatici. Macchine di calcolo sempre più potenti hanno reso possibile la traduzione in linguaggio macchina di equazioni ed algoritmi matematici sempre più complessi e, attraverso essi, hanno consentito di compiere simulazioni sempre più confrontabili con la realtà osservata. Negli anni Settanta, non ci si è più accontentati di simulare processi avvenuti nel tempo passato e si è incominciato a far girare i modelli di simulazione sul tempo futuro, ottenendo in tal modo delle estrapolazioni (o proiezioni). In molti casi le estrapolazioni dei modelli di simulazione sono risultate (e risultano) così vicine alla realtà che essi sono spesso considerati (impropriamente) modelli previsionali. 
L'agricoltura è tra le attività umane una di quelle che ha più bisogno di previsioni. La resa delle colture agrarie dipende da molti fattori climatici (gelate, grandine, siccità, ecc.) ed ecologici (malattie, parassiti, malerbe, inquinamento ecc.) sui quali è spesso possibile intervenire con successo se noti in anticipo. In generale, la previsione dei fattori climatici si basa sulle leggi della Fisica e su misure strumentali, mentre la simulazione dei processi ecologici si basa su relazioni analogiche, osservazioni qualitative e conteggi. In Biologia non esistono leggi universali come nella Fisica (AGENO, 1994). Pertanto, mentre si può parlare di previsioni per i fattori climatici, si deve parlare di proiezioni per i fattori ecologici. Tuttavia, i modelli di simulazione dei processi ecologici hanno permesso di comprendere meglio i meccanismi di funzionamento degli ecosistemi agro-forestali e le loro proiezioni verso il tempo futuro di ridurre l'impatto dei fattori ecologici negativi. 


A partire dagli Anni Cinquanta si è imposto il problema della qualità dell'ambiente ed è risultato evidente che anche i vari mezzi tecnici utilizzati per la produzione agricola sono fonte d'inquinamento (VAN DEN BOSCH, 1978). Concimi chimici e mezzi tecnici di controllo delle avversità delle piante, impiegati nei campi allo scopo di aumentare le rese e proteggere le colture, possono danneggiare seriamente l'ambiente e la salute umana. Progressivamente, si è fatta strada l'idea della gestione integrata degli agroecosistemi allo scopo migliorare qualitativamente e quantitativamente la produzione salvaguardando però l'ambiente e l'uomo (GILBERT et al., 1976). Tale strategia innovativa di gestione, tuttavia, ha richiesto (e richiede tuttora) una conoscenza più approfondita dei meccanismi di funzionamento dei sistemi agricoli e l'apporto di conoscenze e discipline nuove. Appare dunque naturale che un numero sempre maggiore di ingegneri, agronomi, biologi, ecologi, entomologi, fisici e matematici si sia dedicato alla realizzazione di modelli di simulazione per la difesa delle colture agrarie (ARNOLD & DE WIT, 1976).
I modelli di simulazione in agricoltura hanno una storia. La loro recente affermazione è il punto d'arrivo di una linea di pensiero la cui origine può essere fatta risalire al XVIII secolo. Come tutte le storie, anche quella dei modelli di simulazione è scandita da uomini illustri ed incroci con altre storie, tuttavia essa ha sempre avuto questa filosofia: descrivere i processi delle scienze della vita tramite i metodi delle scienze esatte. 



BREVE STORIA DEI MODELLI DI SIMULAZIONE IN AGRICOLTURA.

La storia dei modelli di simulazione in agricoltura ha inizio con REAÙMUR (1735). Egli, cinque anni dopo aver perfezionato il termometro ed aver inventato la scala termometrica che porta il suo nome (REAÙMUR, 1730), sommò le temperature giornaliere (misurate a Parigi in gradi Reaùmur) per simulare i tempi di un evento fenologico: la maturazione della vite. Dalla 'Somma di Reaùmur' si sviluppò una categoria di modelli detti modelli fenologici. Successivamente, MALTHUS (1798) scrisse un'equazione la cui soluzione descrive l'evoluzione nel tempo del numero degli individui di una popolazione. Dalla 'Equazione di Malthus' prese il via una nuova categoria di modelli: i modelli demografici. Le due categorie di modelli si sono sviluppate indipendentemente per circa due secoli, ma nel passato recente hanno trovato un punto d'incontro nei modelli di simulazione a ritardo distribuito (MANETSCH, 1976).

a) Modelli di simulazione fenologici.
Con il termine fenologia nelle scienze agrarie viene indicata la successione temporale delle fasi (o fenofasi) del ciclo annuale delle piante o degli stadi dei loro agenti patogeni e dei loro parassiti (LIETH, 1974). La conoscenza anticipata dei tempi degli eventi fenologici è di grande aiuto nella difesa delle colture dalle avversità. A partire dalla somma di Reaùmur, i modelli fenologici sono stati tra i primi ad essere applicati alla gestione delle attività agricole. Alla loro base ci sono il metodo della somma termica ed il concetto di tasso di sviluppo.
BOUSSIGNAULT (1837) e DE GASPARIN (1844) perfezionarono il metodo della somma di Reaùmur: il primo impiegò i gradi Celsius e legò le date alle fenofasi, il secondo introdusse lo zero di sviluppo ed il concetto di grado-giorno. Intorno la 1850 la somma era già espressa nella forma

che ancora oggi viene impiegata nella maggior parte dei modelli fenologici col nome di somma termica. La temperatura dello zero di sviluppo T0 (o soglia termina inferiore di sviluppo) ed il fabbisogno termico S sono due caratteristiche stadio-specifiche di un dato organismo (una coltura o un parassita) e Tt  è la temperatura giornaliera misurata dal giorno d'ingresso (t = 1) nello stadio a quello d'uscita ( t = J ).
Dopo il 1850 si accese il dibattito sul tasso di sviluppo. Il tasso di sviluppo R è il reciproco dell'intervallo di tempo necessario per completare una fenofase (o uno stadio)

L'esperienza dimostra che l'intervallo di tempo dipende dalla temperatura T, quindi anche il tasso di sviluppo è una funzione della temperatura

La somma termica implica una dipendenza lineare del tasso di sviluppo dalla temperatura o, come si dice, un andamento lineare della funzione dei tassi di sviluppo (CURRY & FELDMAN, 1987)

                      

dove 1/C è detta costante termica. Molti scienziati, sostenendo la non linearità della funzione tasso, dichiararono inapplicabile il metodo della somma termica. COUTAGNE (1882) propose per il tasso di sviluppo una dipendenza esponenziale dalla temperatura

PRICE (1909) partendo dalla considerazione che lo sviluppo biologico è il risultato di una successione di reazioni chimiche, usò l'equazione di Arrhenius,

JANISCH & MAERCKS (1933) applicarono una catenaria doppia invertita

STINNER (1974) una funzione logistica

infine LOGAN et al. (1976), rappresentando la funzione tasso come risultato di meccanismi fisiologici descritti su basi termodinamiche, ha proposto la funzione

nota, appunto, come funzione di Logan.
Tutte queste espressioni non lineari della funzione dei tassi di sviluppo da costanti (A, B, C, D) caratteristiche della specie di pianta o animale considerati, dette parametri, il cui valore può essere determinato sperimentalmente. In generale, maggiore è il numero dei parametri da determinare e maggiore è la complessità del modello di simulazione che ne deriva.
L'impiego di funzioni dei tassi di sviluppo non lineari ha richiesto un metodo di simulazione dei tempi delle fenofasi diverso dalla somma termica. Il nuovo metodo è stato chiamato somma dei tassi (GUTIERREZ, 1996) ed è espresso nella forma

dove R(Tt) è il tasso del giorno t-esimo alla temperatura Tt . Si può dimostrare che il metodo della somma dei tassi ricade in quello della somma termica quando la funzione dei tassi di sviluppo è lineare.
Poco dopo la pubblicazione dell'articolo di Logan, SHARPE & DEMICHELE (1977) hanno elaborato un nuovo modello dei meccanismi dello sviluppo biologico. In esso, l'andamento lineare della funzione dei tassi di sviluppo viene giustificato sulla base della cinetica enzimatica e della teoria delle reazioni catalizzate (EYRING, 1935). Così, il metodo empirico della somma termica ha assunto dignità scientifica. 
Attualmente, i modelli di simulazione della fenologia delle colture si basano per lo più sulla somma termica, mentre quelli della fenologia dei loro parassiti sulla somma dei tassi e sulla funzione dei tassi di sviluppo proposta da Logan.

b) Modelli di simulazione demografici.
Con l'attributo demografico si indica la numerosità di una popolazione. Una popolazione può essere definita come l'insieme degli individui della stessa specie biologica tra loro in interazione funzionale. Per scopi applicativi una popolazione può essere data dall'insieme degli individui della stessa specie riferiti ad un dato intervallo spazio-temporale, in tal senso popolazioni le piante di frumento (Triticum aestivum) di un campo coltivato, gli individui di Artemia franciscana del Grande Lago Salato, gli uomini e le donne della specie Homo sapiens che vivono contemporaneamente all'interno dei confini di uno stato. Una delle variabili più importanti di una popolazione è la numerosità N degli individui che la compongono. La numerosità può essere espressa in termini di densità di popolazione e descritta nella sua variazione temporale dalla funzione N(t). 
Il primo modello di simulazione della densità di popolazione va fatto risalire a MALTHUS (1798)

L'equazione esprime un principio di conservazione: la variazione del numero degli individui in un intervallo di tempo dN(t)dt  deve essere uguale alla differenza tra il numero dei nati e dei morti nello stesso intervallo. B e D sono parametri del modello che indicano rispettivamente il tasso di natalità e di mortalità (costanti) intrinseci o pro-capite caratteristici della popolazione. Come è noto, questo modello dà per B > D un risultato non realistico: una popolazione che aumenta esponenzialmente nel tempo.
VERHULST (1845) prima e PEARL (1925) successivamente hanno perfezionato il modello di Malthus considerando i parametri B e D variabili e dipendenti dalla densità di popolazione ed hanno proposto la famosa equazione logistica

dove C ed S sono due nuovi parametri caratteristici della popolazione da determinare sperimentalmente. Il principale vantaggio del modello logistico è che la densità di popolazione non cresce indefinitamente, ma ha un asintoto superiore (una densità massima) determinato dalla quantità di risorse a cui ha accesso la popolazione. 
Il modello logistico per quanto sia in grado di migliorare la simulazione della dinamica di popolazioni non è tuttavia in grado di considerare importanti fattori che intervengono a regolare l'abbondanza delle popolazioni naturali. Tra questi fattori vi sono in primo luogo le interazioni tra specie diverse, per tener contro di queste è stata elaborata una nuova categoria di modelli detti modelli di interazione che considerano le interazioni di tipo trofico (erbivoria, predazione e parassitismo), competitivo e cooperativo tra popolazioni.
Tra i modelli più semplici che considerano la dinamica di specie interagenti il più famoso è probabilmente il modello preda-predatore proposto indipendentemente da LOTKA (1925) e VOLTERRA (1926). Si tratta del sistema di due equazioni nelle due incognite
N 1
(t)  densità della popolazione di prede ed N 2 (t)  densità della popolazione di predatori

S1,S2 ,Q1 e Q2 sono quattro parametri caratteristici delle due popolazioni il cui valore può essere determinato sperimentalmente. In particolare, nella formulazione originaria del modello, S1 è un parametro dipendente dal tasso di natalità e di mortalità intrinseco delle prede, S2 è un parametro dipendente dal tasso di mortalità intrinseco dei predatori, indica l'efficienza di ricerca o tasso di attacco dei predatori sulle prede e esprime l'efficienza con cui di conversione delle prede attaccate in predatori. La soluzione di questo modello descrive la dinamica di due popolazioni che non si estinguono mai, ma ciascuna di esse oscilla intono ad un valore medio determinato (anche) dall'altra.
Anche all'interno dei modelli che considerano la dinamica di popolazioni di specie singole si sono però verificati cambiamenti che segnano un'importante evoluzione della possibilità di simulare l'evoluzione temporale della densità di popolazione. Tale cambiamento deriva dal considerare che gli individui di una popolazione non sono tutti uguali tra loro, come invece fanno i modelli demografici precedentemente illustrati i quali rappresentano la densità di popolazione tramite un'unica variabile
N(t) . Invece è molto più realistico distinguere gli individui per età, perché tutti i parametri demografici: tasso di natalità B, di mortalità D, efficienza di predazione Q1 ecc., dipendono dall'età degli individui. Per tradurre in termini matematici questa osservazione si deve esprimere la variabile N come funzione di due variabili indipendenti: il tempo t e l'età a (age) cioè N (t,a) . Si hanno in questo modo modelli di dinamica di popolazioni strutturate che devono però essere espressi attraverso equazioni alle derivate parziali, ma l'aumento di complessità delle equazioni comporta un notevole miglioramento delle simulazioni e apre alla possibilità di ulteriori sviluppi dei modelli.
L'equazione per
N (t,a) è stata studiata da MCKENDRICK (1926), tuttavia è stato VON FOERSTER (1959) a formulare la seguente equazione completa della dinamica delle popolazioni con struttura d'età

In parole povere questa equazione dice che se si osserva una diminuzione del numero d'individui in una età non è detto che essi sono morti, perché possono essere passati all'età successiva. Nell'equazione di Von Foerster il tasso intrinseco di mortalità D(t,a) non è costante, ma dipende dall'età e dal tempo.
Oggi l'equazione di Von Foerster è considerata l'equazione fondamentale in della dinamica di popolazioni delle specie singole e la maggior parte dei modelli demografici 'puri' partono da essa. Nel prossimo paragrafo tratteremo di una 'impurità' introdotta nell'equazione di Von Foerster.

c) Modelli di simulazione a ritardo distribuito.
L'età a, introdotta come seconda variabile indipendente di N, è nella formulazione originale del modello, l'età cronologica degli individui, cioè l'intervallo di tempo intercorso tra la nascita ed il tempo attuale t. Se si considera una popolazione al tempo t risulta in generale che i suoi individui hanno età (cronologiche) a diverse. Tuttavia, se in quella popolazione si considerano soltanto gli individui nati contemporaneamente (cioè una coorte), in qualsiasi tempo t essi avranno tutti la stessa età a. 
L'età cronologica a risulta facilmente misurabile nelle popolazioni umane e in un numero limitato di specie di animali domestici, mentre per la maggior parte delle piante e degli animali essa non è in pratica misurabile. Così l'equazione di Von Foerster 'pura' risulta scarsamente utilizzabile in pratica, quando si tratta di popolazioni d'insetti o di piante spontanee.
A questo punto è intervenuta la fenologia. Per stimare il grado di sviluppo (l'invecchiamento) degli individui di una popolazione ci si può riferire agli stadi fenologici anziché all'età cronologica. Gli stadi (degli insetti) e le fenofasi (delle piante) dipendono direttamente dalla fisiologia degli individui e sono di solito facilmente osservabili. 
Per sostituire, nei modelli demografici, l'età cronologica con una definizione dell'età che dipenda dalla fenologia devono essere considerati due aspetti: a) il passaggio da uno stadio all'altro, così come la progressione in età all'interno dello stadio, dipende dalla temperatura (e non dall'età cronologica), b) gli individui di una coorte non raggiungono contemporaneamente uno stesso stadio (come accade per una età cronologica) per effetto della variabilità biologica. Il primo problema è stato risolto introducendo una nuova variabile indipendente (dipendente dalla temperatura) per simulare il 'grado di avanzamento' di un individuo in uno stadio: la cosiddetta età fisiologica

dove t  è una variabile d'integrazione muta che indica il tempo, T(t) è l'andamento temporale della temperatura,R[T(t  )] è la funzione dei tassi di sviluppo dei modelli fenologici e l'integrale a destra altro non è che una diversa espressione della somma dei tassi. Per t = 0 l'età fisiologica indica che l'individuo è appena entrato nello stadio, quando  per  t = t* si ha che per un dato individuo ciò significa che questo ha completato il suo sviluppo entro lo stadio e passa nello stadio successivo.
Il secondo problema è stato risolto da PLANT & WILSON (1986) sostituendo l'età fisiologica a  al posto dell'età cronologica a nell'equazione di VON FOERSTER (1959). Il lavoro di questi autori prende avvio dal'osservazione che, anche se un individuo in un dato stadio fenologico non cambia le sue caratteristiche osservabili, accumula nel tempo una qualche caratteristica fisiologica che ne scandisce il grado d'avanzamento nello stadio stesso. Plant e Wilson ipotizzano che questa caratteristica sia l'età fisiologica che, essendo definita da un integrale con il tempo t come estremo superiore d'integrazione, simula proprio un fenomeno di accumulo (dipendente, inoltre, dalla temperatura). L'età fisiologica è, per definizione, una funzione continua, ma i due Autori nella loro teoria ne considerano soltanto dei valori
a h discreti. Cioè, mentre può assumere tutti i valori compresi tra 0 (ingresso in uno stadio) ed 1 (uscita dallo stadio), essi ne considerano ad esempio solo i valori a0= 0.0, a1 = 0.1, aa2 = 0.2, .,a8 = 0.8, a9 = 0.9, a10 = 1.0. Nel gergo matematico questa semplificazione prende il nome di discretizzazione della variabile a(t) e si indica così

e .

Da indica l'intervallo tra due età fisiologiche 'discrete' successive. L'idea di Plant e Wilson equivale all'ipotesi secondo cui il passaggio degli individui di una popolazione attraverso uno stadio fenologico (osservabile) possa essere rappresentato come il passaggio attraverso una successione di H sub-stadi non osservabili corrispondenti ai valori di ah, eccetto due: il primo a0 e l'ultimo aH. Dato che, per definizione, l'età fisiologica a di un individuo è un numero compreso tra 0 ed 1, i valori (discreti) di ah sono numeri decimali (<= 1) che indicano il livello di sviluppo entro un generico stadio del ciclo vitale. Il metodo proposto da Plant e Wilson (1986) consiste nel riscrivere l'equazione di von Foerster per valori discreti di a, il sistema di equazioni risultante (assumendo per semplicità D(a) = 0 è

dove Nh(t) indica il numero d'individui all'interno questi sub-stadi.
Se si ipotizza che il flusso d'individui (numero di individui per giorno) che escono al tempo t dal sub-stadio h sia proporzionale ad
Nh(t)  (in altri termini più individui sono presenti in un sub-stadio e più ne escono), vale a dire 

dove Z indica una costante, è possibile riscrivere il sistema di equazioni precedente in termine di flussi uscenti

Quello ottenuto è il sistema di equazioni proposto da MANETSCH (1976) per descrivere lo sviluppo di una popolazione d'insetti in uno stadio fenologico ed è denominato 'Modello a Ritardo Distribuito Invariabile nel Tempo' ('Time Invariant Distributed Delay Model'). Si dimostra che se una popolazione d'insetti o di piante si sviluppa a temperatura T costante risulta

dove H è il numero dei sub-stadi (non osservabili) dello stadio (osservabile) ed R(t) è il tasso di sviluppo specifico dello stadio alla temperatura T.
Il modello a ritardo distribuito invariante nel tempo risolve ambedue i problemi connessi con l'introduzione degli stadi fenologici nei modelli demografici. Infatti, esso fa dipendere il passaggio da uno stadio all'altro dalla temperatura (
T, R(t) , età fisiologica, problema a), e fornisce per individui entrati contemporaneamente in uno stadio (coorte) una uscita distribuita nel tempo (problema b). Queste due caratteristiche del modello risultano evidenti se si considera la soluzione del sistema di equazioni di Manetsch (e cioè il flusso d'individui in uscita dall'ultimo sub-stadio e quindi uscenti dallo stadio considerato) corrispondente ad una coorte (flusso d'individui che entrano contemporaneamente nel primo sub-stadio dello stadio considerato)

Il modello simula un processo per cui individui che entrano nello stesso tempo in uno stadio fenologico ne escono in tempi diversi, come affettivamente accade nella realtà a causa della variabilità delle risposte biologiche (in questo caso i tassi di sviluppo) tra gli individui di una popolazione. La distribuzione degli individui in uscita dipende dal tempo t, dalla temperatura T, dalla funzione dei tassi di sviluppo R(T) e dal numero di sub-stadi H e, se la temperatura è costante, segue una funzione nota in statistica: la Funzione di Erlang.
La versione di base del modello a ritardo distribuito ('Time Invariant Distributed Delay Model') è stata perfezionata con l'introduzione della temperatura variabile ('Time Varying Distributed Delay Model') da parte dello stesso MANETSCH (1976) e con l'introduzione della mortalità come attrito da parte di VANSICKLE (1977). Il modello è stato (ed è tuttora) largamente applicato nella simulazione dello sviluppo di popolazioni di piante ed insetti nel loro ciclo vitale ed in particolare nella gestione integrata dei fitofagi delle colture 'Integrated Pest Management', IPM (Welch et Al., 1978; Graf et Al., 1985; Baumgaertner et Al., 1989; Cerutti, 1989; Bianchi et Al., 1990; Gutierrez et Al., 1991) .



LA FILOSOFIA DEI MODELLI DI SIMULAZIONE NELLA DIFESA DELLE COLTURE AGRARIE.

a) Considerazioni generali
Tutti i modelli di simulazione (brevemente, modelli) si basano sulle stesse definizioni, qualunque sia il loro campo di applicazione: ingegneria, fisica, chimica, economia, agricoltura, ecc.. Proprio per questo un modello di simulazione sviluppato inizialmente allo scopo di simulare un processo in un dato settore, ad esempio in elettrotecnica o in medicina, può essere applicato con successo anche in un settore differente, ad esempio in economia o in agricoltura (VON BERTALANFFY, 1971). Negli ultimi anni molti Autori hanno pubblicato libri nei quali sono descritti la filosofia di base ed i metodi per costruire modelli di simulazione in agricoltura (JEFFERS, 1972; THORNLEY, 1976; DENT & BLAKIE, 1979; BROCKINGTON, 1979; FRANCE & THORNLEY, 1984; FINKELSTEIN & CARSON, 1985). Le considerazioni che seguono sono state tratte da questi lavori 
Prima di tutto è necessario precisare la differenza tra sistema e modello (del sistema). Nei testi di Teoria dei Sistemi si legge questa definizione: un sistema (naturale) è l'intervallo spazio-temporale del quale ci si interessa. Cioè, detto in parole povere, un sistema è un porzione di realtà collocata nel tempo. Ad esempio, sono sistemi: il traffico automobilistico su un'autostrada di domenica sera, una popolazione di api dopo l'uscita dalla diapausa, le molecole di un gas in espansione ecc.. Un sistema è individuato da una frontiera che stabilisce (nello spazio e nel tempo) dove finisce il sistema e comincia l'ambiente esterno. La frontiera di un sistema è importante non solo perché lo distingue dall'ambiente esterno, ma perché tutti i flussi di materia e d'energia che dall'ambiente entrano nel sistema e viceversa passano attraverso la sua frontiera (Fig. 1).

Fig. 1: Rappresentazione di un sistema e dei flussi che attraversano la sua frontiera.

Ogni sistema (negli esempi: traffico, popolazione o gas) è costituito da componenti (negli esempi: automobili, api e molecole) che interagiscono tra loro (Fig. 2) I cambiamenti nel tempo del sistema (in gergo: la dinamica del sistema) dipendono, in sostanza: a) dalle interazioni delle componenti con l'ambiente esterno, b) dalle interazioni delle componenti tra loro. Ciascuna componente di un sistema è a sua volta un sistema. Ad esempio un'ape ha come componenti: ali, zampe, occhi, antenne, ecc., una zampa dell'ape ha come componenti cellule di vario tipo ed una cellula ha come componenti: mitocondri, ribosomi, cromosomi e così via. Attraverso questo esempio si può comprendere perché risulti impossibile descrivere la dinamica dei sistemi attraverso l'interazione di tutte le loro componenti.

Fig. 2: Esempio di un sistema composto da sub-sistemi, composti, a loro volta, da sub-sistemi.
Qualunque sistema naturale risulta sempre troppo complesso perché si possa pensare di descriverlo in tutta la sua complessità. Per questo si costruiscono modelli di simulazione del sistema. Un modello (di un sistema) è una rappresentazione semplificata e finalizzata del sistema. Semplificata perché la dinamica del sistema viene descritta attraverso un numero limitato di componenti scelte opportunamente, finalizzata perché la scelta delle componenti dipende dallo scopo per cui viene realizzato il modello. Se, ad esempio, si realizza un modello di traffico per organizzare il pagamento dei pedaggi autostradali basta considerare tutte le automobili (componenti del sistema) uguali tra loro, se, invece, si vuol simulare la probabilità di incidenti si dovranno distinguere gli autoveicoli in base alla marca, alla velocità, allo spazio di frenata, allo stato dei pneumatici, ecc.. 
Dunque, da un modello di simulazione non ci si deve attendere una descrizione della realtà in tutta la sua ricchezza e complessità. Tuttavia, una tale rinuncia ha come contropartita la possibilità di fare delle previsioni. In un modello, il grado di semplificazione della natura è arbitrario e giustificato solo dal fine per il quale il modello viene realizzato. Così se lo scopo previsionale viene raggiunto vuol dire che la semplificazione della natura fatta nel modello è stata utile. A seconda dei fini, si possono fare diversi modelli (ai quali corrispondono diversi gradi di semplificazione) dello stesso sistema.
I modelli fenologici, quelli demografici ed i modelli a ritardo distribuito, la cui storia è stata brevemente tracciata nei paragrafi precedenti, sono tra quelli che hanno mostrato la maggiore capacità previsionale nella difesa delle colture agrarie. Questi modelli sono costruiti, attraverso un approccio logico-deduttivo, a partire da 'leggi' ecologiche. Il concetto di 'legge' in ecologia non ha probabilmente un campo di applicazione così ampio (universale) come nella Fisica, tuttavia esso è impiegato nei modelli ecologici come nei modelli fisici. Per 'legge' ecologica si intende una relazione che descriva (a priori) la relazione tra un fenomeno biologico (ad es.: lo sviluppo di una popolazione) ed una caratteristica dell'ambiente chimico fisico (ad es.: la temperatura dell'aria) attraverso una funzione matematica (ad es.: la funzione tasso, la funzione logistica, ecc.). Questa funzione dipende da parametri caratteristici della popolazione (zero di sviluppo, tasso di natalità, ecc.) i quali possono essere determinati tramite misure di campo o da esperimenti di laboratorio

b) Funzioni di Stato, Funzioni di Flusso e Funzioni Forzanti.
Quando si deve costruire un modello di un sistema solitamente si inizia col costruire un modello grafico. In esso la frontiera è rappresentata con un rettangolo ed i flussi entranti ed uscenti con delle frecce che entrano o escono (Fig. 3).

Fig. 3: Esempio di come si può rappresentare qualitativamente tramite un modello grafico la dinamica (cioè la variazione della numerosità nel tempo) di una popolazione d'insetti.

Ad esempio, se il sistema di cui si costruisce il modello è una popolazione d'insetti negli stadi immaturi, il flusso in ingresso è il numero delle uova deposte per giorno ed il flusso d'uscita è il numero delle pupe per giorno che raggiungono lo stadio adulto. 
Il primo passo del percorso che porta da un modello grafico a un modello matematico si fa rappresentando le parole ('uova per giorno', 'individui immaturi', 'adulti per giorno') con dei simboli. Ad esempio, si può indicare 'uova per giorno' col simbolo , 'individui immaturi' con
N(t) e 'adulti per giorno' con . La lettera dell'alfabeto greco (fi) indica un flusso (individui per giorno), le lettere i ed u stanno ad indicare ingresso ed uscita, la lettera N indica il numero (totale) d'individui della popolazione di individui immaturi (non è quindi un flusso!), la lettera t tra parentesi indica che il flusso d'individui in ingresso i , il numero d'individui negli stadi immaturi N e il flusso d'individui in uscita possono variare nel tempo (o, come si dice in gergo, sono funzioni del tempo .) (Fig. 4).

Fig. 4: Esempio di come si passa dal modello grafico di Fig. 3 ad un modello matematico sostituendo le parole con delle funzioni: funzione di stato e funzioni di flusso.

La funzione del tempo N(t) viene detta Funzione di Stato (o Variabile di Stato) del Sistema (e del Modello), in questo esempio: 'Funzione di Stato della Popolazione d'Insetti'. Essa, infatti, indica giorno per giorno lo stato della popolazione, cioè il numero d'individui negli stadi immaturi. La funzione di stato è solitamente l'incognita dei modelli di simulazione e il motivo per cui questi vengono costruiti è il suo calcolo. La funzione di stato di un sistema, infatti, generalmente non è nota. Sono noti, al più, i valori da essa assunti nel tempo passato o nel tempo attuale, ma non quelli che essa assumerà nei tempi futuri. I modelli di simulazione permettono di calcolare i valori della funzione di stato N(t)  nei tempi futuri una volta che sia noto il suo valore nel tempo presente. Nel gergo matematico si dice: "indicato con t0 il tempo attuale e noto lo stato iniziale della popolazione N0 = N(t0) , la soluzione del modello di simulazione fornisce  N(t)  pert > t0 ".

Le funzioni e sono dette Funzioni di Flusso (o Variabili di Flusso). Le Funzioni di Flusso, collegano il Sistema con l'Ambiente Esterno e dipendono, a loro volta, da altre funzioni, in particolare dalle funzioni che caratterizzano l'Ambiente Esterno come: temperatura, umidità, radiazione luminosa, ecc.. Le funzioni che rappresentano l'andamento temporale delle Funzioni di Flusso prendono il nome di Funzioni Forzanti (o Variabili Forzanti) e nei modelli grafici vengono indicate con frecce tratteggiate. Ad esempio, se il sistema è l'insieme degli individui degli stadi immaturi di una popolazione d'insetti, il flusso d'individui divenuti maturi dipende dalla temperatura dell'ambiente T(t) , e il modello grafico che lo rappresenta è riportato in Fig. 5.

Fig. 5: Esempio di come si introduce una funzione forzante (freccia tratteggiata) in un modello di simulazione della dinamica di una popolazione d'insetti.

Il secondo passo per passare da un modello grafico a un modello matematico consiste nello stabilire le relazioni che legano le Variabili Forzanti alle Variabili di Flusso e queste ultime alla Variabile di Stato. Queste relazioni espresse matematicamente assumono la forma di Equazioni e il modello matematico altro non è che un'Equazione (o un Sistema di Equazioni) che ha per incognita
N(t)
La 'Storia' dei modelli di simulazione illustrata nella prima parte di questo lavoro può essere considerata una successione di tentativi per trovare relazioni (cioè equazioni) capaci di legare le Funzioni Forzanti alle Funzioni di Flusso e queste alla Funzione di Stato in maniera sempre più aderente alla realtà osservata. 
La distribuzione di Erlang

ad esempio, altro non è che un'equazione che lega una Funzione di Flusso  , il flusso d'uscita di una coorte di una data popolazione dal periodo pre-immaginale (o da uno qualsiasi degli stadi immaturi purché il suo confine sia segnato da eventi biologici netti e repentini) , ad una Funzione Forzante, la temperatura T(t) , nel caso in cui quest'ultima si mantenga costante nel tempo T(t) = T . Questo legame si effettua tramite la funzione dei tassi di sviluppo R(T) che, come abbiamo visto, è stata oggetto di varie espressioni analitiche. 

Se, tanto per fare l'esempio più semplice, si considera l'espressione lineare della funzione dei tassi di sviluppo

e la si sostituisce nella Funzione Flusso d'Uscita si ha l'espressione del flusso d'uscita dagli stadi immaturi di una coorte di uova d'insetti deposte al tempo t = 0

L'espressione lineare della funzione dei tassi di sviluppo viene considerata uguale per tutti gli individui della coorte. Essa non è una legge universale, come la si intende in Fisica. Infatti, come si è visto, esistono espressioni (molto) diverse per la funzione dei tassi di sviluppo, tuttavia essa, come una legge fisica, viene considerata valida per tutti gli individui della coorte.
Il flusso d'uscita non è ancora la Funzione di Stato del Sistema (e del modello). Tuttavia, se si fa l'ipotesi che il numero d'individui che maturano è proporzionale al numero di quelli che sono nella popolazione (ipotesi fatta per ricavare il modello di Manetsch)

si ha l'espressione della Funzione di Stato (cioè il numero d'individui che al tempo t si trovano negli stadi pre-immaginali) 

Mentre il modello di Manetsch, ricordato nella 'Storia', può essere considerato il modello matematico per simulare lo sviluppo di una coorte d'insetti negli stadi immaturi, l'equazione trovata ora può essere considerata la soluzione del modello, cioè la sua Funzione di Stato, cioè il numero d'individui della coorte che in un giorno t (qualsiasi) si trovano negli stadi immaturi. 
La capacità previsionale della soluzione trovata si comprende considerando che se il tempo nel quale viene deposta la coorte di uova è il tempo attuale, il tempo t che compare nella soluzione trovata è il tempo futuro e è il numero d'individui che, dopo t giorni a partire da oggi, si troveranno ancora negli stadi immaturi (cioè non saranno diventati ancora adulti).

c) I Parametri di un Modello e la loro stima.
Per calcolare (e prevedere)
N(t) è necessario conoscere non solo la temperatura T (Funzione Forzante) alla quale si sviluppa la coorte, ma anche il valore di tutte le costanti che compaiono nella soluzione: H, C,T0 , Z. Queste sono dette Parametri del modello di simulazione, sono caratteristiche di ciascuna specie biologica ed esprimono in qualche modo la relazione tra la coorte in sviluppo e l'ambiente in cui questa si sviluppa.
Dato che i parametri del modello sono specie-specifici, essi, una volta determinati, possono essere considerati, a meno di variazioni ecotipiche tra popolazioni diverse di una stessa specie, sempre uguali e potranno essere utilizzati in futuro tutte le volte che si fa 'girare' il modello di simulazione. Essi potranno essere impiegati anche per applicazioni del modello ad aree geografiche diverse da quella per cui è stato inizialmente elaborato.
La determinazione dei parametri di un modello si fa confrontando una Funzione (di Stato, di Flusso, di Tasso, ecc.) con misure sperimentali eseguite in campo o in laboratorio sul Sistema che si vuole rappresentare con un modello. Descriviamo, come esempio, la procedura per la stima dei parametri C e
T0 della funzione dei tassi di sviluppo (nell'ipotesi che questa sia lineare) e del parametro H della  distribuzione di Erlang.
Ad esempio, si consideri la stima, tramite esperimenti di laboratorio, dei parametri C e
T0 della funzione dei tassi di sviluppo del Coleottero Crisomelide Oulema melanopus L.. È necessario innanzitutto formare più coorti di uova di O. melanopus, ciascuna delle quali verrà allevata in una camera climatica ad una temperatura costante (T1 ,T2 ,T3 , .) diversa dalle altre. Si farà in modo che lo sviluppo delle coorti avvenga nelle stesse condizioni di umidità, luce, dieta, ecc.. Si misureranno gli intervalli di tempo ( 1 ,2 , 3, .). impiegati dalle coorti per raggiungere la maturità alle diverse temperature Infine, tramite l'operazione di regressione lineare si calcolano i parametri C e T della retta

 

che passa più vicino ai punti sperimentali

L'operazione di regressione è mostrata graficamente in Fig. 6.

Fig. 6: Regressione lineare per la determinazione della funzione tasso (per la stima dei parametri che la individuano).

Le procedure per la stima degli altri parametri del modello sono concettualmente simili a quelle ora descritte per stimare i parametri C e
T0 . Ad esempio, per stimare il valore del parametro H per gli stadi immaturi di O. melanopus si prende una coorte di uova dell'insetto e si fa sviluppare in una camera climatica a temperatura costante. Successivamente si conta il numero d'individui della coorte , , ., che diventano adulti rispettivamente nei giorni t1,t2 , .. Come nel caso della funzione dei tassi di sviluppo, si formano le coppie di valori sperimentali , , ., che rappresentano dei punti su un piano cartesiano e , attraverso une regressione (in questo caso non lineare), si calcolerà il parametro H della distribuzione di Erlang che meglio li approssima. 
L'operazione di regressione è mostrata graficamente in Fig. 7.

Fig. 7: Funzioni della famiglia di distribuzioni di Erlang corrispondenti a differenti valori di H (riquadro piccolo in alto) ed esempio della determinazione del valore di H attraverso l'individuazione della funzione che meglio approssima i dati sperimentali.
In pratica, il valore del parametro H si trova andando a cercare tra le distribuzioni della famiglia di Erlang quella che passa più vicino ai punti trovati sperimentalmente.
In generale, per stimare i parametri di un modello si esegue un esperimento che riproduce nella realtà la stessa dinamica del sistema rappresentato dal modello. I risultati dell'esperimento si confrontano con l'equazione del modello e, infine, si calcola il valore dei parametri. Si comprende, dunque, perché per stimare i parametri di un modello si deve eseguire un esperimento 'ad hoc' e perché i risultati di un esperimento fatto sullo stesso sistema per scopi diversi sono spesso inutilizzabili al fine della stima dei parametri.

d) Analisi di Sensitività e Validazione di un modello di simulazione.
Una volta stimati i parametri, il modello di simulazione viene solitamente tradotto in un linguaggio di programmazione e fatto 'girare' in un calcolatore. Se si ha la soluzione del sistema di equazioni (del modello matematico) in forma analitica, il calcolatore può essere utile per calcolarne i valori nel tempo. Altrimenti il calcolatore può essere usato prima per calcolare la soluzione del sistema di equazioni in forma numerica e poi per calcolare i valori della soluzione nel tempo. In commercio si possono trovare tanti linguaggi di programmazione di uso generale (FORTRAN, BASIC, PASCAL, ecc.) e alcuni sviluppati appositamente per i modelli di simulazione (DYNAMO, CSMP). Talvolta è possibile implementare un modello di simulazione in un foglio elettronico (Microsoft EXCEL, 123 Lotus, ecc.), in questi casi è possibile mostrare i risultati in una grande varietà di rappresentazioni grafiche.
Con l'impiego di un computer risulta relativamente semplice variare di una certa percentuale (ad es. del 10%) un parametro del modello e, mantenedo costanti tutti gli altri, calcolare la variazione percentuale della soluzione. In questo modo si può valutare separatamente l'influenza di ciascun parametro (e del grado di accuratezza della sua stima) sul risultato del modello e quindi sull'accuratezza della previsione. Questa analisi viene detta Analisi di Sensitività del modello, essa viene solitamente eseguita prima dell'utilizzo del modello in un contesto applicativo e serve a stabilire se alcuni parametri del modello (e quali) sono stati stimati con un'accuratezza insufficiente. I parametri scarsamente accurati debbono essere stimati di nuovo con accuratezza maggiore e ciò si ottiene solitamente impiegando un maggior numero di dati sperimentali. Si è visto che un modello di simulazione per 'girare' richiede in ingresso Funzioni Forzanti e Funzioni di Flusso ed i risultati dell'analisi di sensitività possono dipendere da esse. Per questo l'analisi di sensitività deve essere fatta con molta cautela.
La valutazione finale della bontà di un modello di simulazione non può che derivare da un confronto diretto dei suoi risultati con quello che succede in natura. Questo confronto viene detto Validazione del modello. La validazione può aver luogo in laboratorio o in campo aperto e consiste nel realizzare sperimentalmente condizioni paragonabili a quelle descritte dalla Funzione Forzante e dalla Funzione di Flusso e confrontare l'andamento misurato con quello calcolato della Funzione di Stato. Se il risultato del confronto è ritenuto soddisfacente il modello si ritiene 'validato'. Infine, variando le condizioni di validazione si può definire il Campo di Validità del modello. 
Si voglia, ad esempio, definire il campo di validità del Modello a Ritardo Distribuito Invariante nel Tempo di una specie vegetale in cui si è assunta la linearità della funzione dei tassi di sviluppo. Si può iniziare con una coorte di semi della specie
A da seminare e da far crescere ad una temperatura costante T1 . Si determina la distribuzione di frequenza dei tempi in cui ciascun seme dà il primo fiore D1(t) . Si confronta questa distribuzione con quelle della famiglia di Erlang EH(t) e si determina il valore di H = H1 . Successivamente si prendono altre coorti di semi A e si fanno crescere a temperature differenti T1 < T2< T3 , ma costanti di volta in volta. Si determinano le nuove distribuzioni di frequenza D2(t) ,D3(t)  , si confrontano con EH(t) e si individuano i nuovi valori di H ( H1 ,H2 , .). Aumentando di volta in volta il valore della temperatura, si arriverà ad un valore TM  per cui il confronto tra DM(t) ed EH(t) risulterà insoddisfacente per qualsiasi valore di H. La temperatura TM rappresenta il limite superiore del campo di validità del Modello a Ritardo Distribuito a Tempo Invariante con funzione dei tassi di sviluppo lineare per la specie A. In maniera analoga si trova il limite inferiore Tdel campo di validità. La stessa procedura può essere ripetuta per coorti di semi di altre specie vegetali B, C, D, ., spontanee o coltivate, oppure per coorti di uova di Insetti, Copepodi o Anfibi. Per ciscuna specie si individuano TM e Tm . L'insieme dei campi di validità di tutte le specie costiturà il campo di validità del modello. L'esperienza dimostra che se nella famiglia di Erlang al tasso lineare si sostituisce la funzione di Logan (non lineare) il campo di validità del Modello a Ritardo Distribuito a Tempo Invariante aumenta. 
Sia per stimare i parametri di un modello di simulazione e sia per validarlo occorrono dati ricavati da misure. Tuttavia, gli esperimenti di campo o di laboratorio per validare un modello sono generalmente diversi da quelli per stimare i parametri ed i dati presi per il primo obiettivo non possono essere confusi con quelli presi per il secondo. Inoltre, risulta quasi sempre impossibile impiegare nella stima dei parametri dati ricavati per altri scopi.
Concludendo, il modello di simulazione deve essere stato definito prima di effettuare la campagna di misure per ricavare i dati per la stima dei parametri. Stimati i parametri si fa l'analisi di sensitività ed infine si esegue un esperimento 'ad hoc' per validare il modello. Soltanto dopo aver compiuto in maniera corretta queste operazioni, si può cominciare ad impiegare il modello di simulazione a scopi diagnostici ('nowcasting') o previsionali ('forecasting').

Fig. 8: Esempio schematico del campo di validità del modello a ritardo distribuito.


CONCLUSIONI

Un modello di simulazione è stato rappresentato graficamente con un rettangolo (il sistema con la sua Funzione di Stato) due frecce continue (Funzioni di Flusso) ed una tratteggiata (Funzione Forzante). Tutti i modelli di simulazione rientrano in questo schema. Tuttavia, lo schema è troppo semplice e la descrizione dei sistemi viventi in natura risulta solitamente molto più complessa. E allora: in che senso "Tutti i modelli di simulazione rientrano in questo schema"?
E' stato già osservato che ogni sistema è costituito da sub-sistemi che a loro volta sono costituiti da altri sub-sistemi in una gerarchia inclusiva e che un sub-sistema non è altro che un sistema. Bene, lo schema al quale ci siamo riferiti può rappresentare il modello di un sistema (raramente) o il modello di ciascun sub-sistema di un sistema più complesso (più frequentemente). La situazione è quella mostrata in Fig. 9.


Fig. 9: Rappresentazione di un sistema complesso mediante i sub-sistemi che lo costituiscono e le loro interazioni. Funzioni di Flusso (frecce intere) e Funzioni Forzanti (frecce tratteggiate).

Collegando in maniera opportuna tanti modelli semplici si può costruire il modello di simulazione di un sistema complesso costituito da più sub-sistemi interagenti tra loro.
Ciascun sub-sistema, caratterizzato dalla proprie Funzione di Stato, Funzioni di Flusso e Funzioni 
Forzanti può essere collegato ad (o interagire con) altri sub-sistemi per descrivere sistemi anche molto complessi alle diverse scale spazio-temporali o ai diversi livelli gerarchici quali, ad esempio, le reazioni enzimatiche della respirazione, il funzionamento di una cellula o di un organismo, lo sviluppo di una popolazione attraverso gli stadi del ciclo vitale, la dinamica di una comunità o di un ecosistema. 
Qui ci fermiamo. Abbiamo voluto mostrare che oggi esiste una vera e propria filosofia della descrizione della complessità della natura tramite modelli matematici e che questa filosofia ha ormai una storia più che centenaria. La caratteristica fondamentale dei modelli è la loro applicabilità in campi diversi da quelli in cui sono stati inizialmente elaborati. Questo fa sì che settori disciplinari più arretrati (dal punto di vista della quantificazione degli schemi teorici) possono trarre vantaggio dal lavoro teorico svolto nell'ambito di altri settori più avanzati. Ma per il travaso dei modelli da un settore ad un altro c'è bisogno di lavoro teorico di adattamento, lavoro che si esplica soprattutto nella scelta e nella stima dei parametri. Nei Paesi più sviluppati esistono attualmente delle 'Scuole' che studiano come trasferire in agricoltura i modelli già esistenti e come costruirne dei nuovi. Che una tale 'Scuola' si costituisca anche nel nostro Paese è tra gli obiettivi di questa presentazione. 


RIASSUNTO


I modelli di simulazione per la difesa delle colture agrarie possono essere suddivisi in tre classi: i Modelli Fenologici, i Modelli Demografici ed i Modelli a Ritardo Distribuito. I Modelli Fenologici simulano una data, ad esempio la data d'inizio della fioritura degli alberi di pesco. I Modelli Demografici simulano un numero, ad esempio il numero degli individui di una popolazione in un dato giorno. I Modelli a Ritardo Distribuito simulano una distribuzione, ad esempio il numero degli individui di una popolazione che si trovano nei differenti stadi in un dato giorno. Viene brevemente raccontata la storia delle tre classi di modelli e si suggerisce che i Modelli a Ritardo Distribuito sono nati dall'incrocio dei Modelli Fenologici con i Modelli Demografici.
La discussione sulla filosofia dei modelli di simulazione prende le mosse dalla differenza tra un sistema ed un modello; successivamente, sono introdotti i concetti di Funzione (o Variabile) di Flusso, Funzione di Stato e Funzione Forzante. Infine, si tratta di come stimare i parametri e l'intervallo di validità di un modello di simulazione. 


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